劉丹亭/文

一

首先我必須坦白，促使我打開大衛(wèi)·福斯特·華萊士這本數(shù)學(xué)專著《穿過一條街道的方法：無窮大簡史》的，絕不是對數(shù)學(xué)的熱情（這種熱情在我身上一絲都沒有），而是八卦心理——一位傳奇作家寫的數(shù)學(xué)專著！大衛(wèi)·福斯特·華萊士，受上天眷顧的幸運(yùn)兒，他掌握了文字和數(shù)字兩套符號體系，既是“我們這個時代最偉大的美國作家之一”，也是系統(tǒng)接受過哲學(xué)、數(shù)學(xué)和模態(tài)邏輯學(xué)專業(yè)訓(xùn)練的知識精英。

無疑，文字和數(shù)字是構(gòu)建華萊士神秘莫測的精神世界的基石。在他童年記憶里，教授哲學(xué)的父親和身為英語老師的母親總保持著對知識和語言的敏感：母親會在“詞窮”時自創(chuàng)單詞來表達(dá)；一次夏日旅行中，父母與華萊士約定，只要提到派這種點(diǎn)心，就要用π的數(shù)值3.1415926…來替代。

π是一個無理數(shù)，在《穿過一條街道的方法》中，華萊士對于這類以無線不循環(huán)的方式抵達(dá)無窮的實(shí)數(shù)有專門論述。對于他，數(shù)學(xué)就像無處不在的π，向來與他的生活和成長交織在一起。他曾在作品《弦理論》中追憶過自己作為少年網(wǎng)球手的往事，他有很高的網(wǎng)球天賦，這也要?dú)w功于他超強(qiáng)的運(yùn)算能力，他會在比賽中計算網(wǎng)球的運(yùn)動路線，將比賽視為破解二次函數(shù)方程的過程，甚至將風(fēng)力因素也考慮在其中。數(shù)學(xué)，在某種程度上是現(xiàn)實(shí)經(jīng)過高度抽象后，呈現(xiàn)在華萊士眼中的鏡像。

同樣是在《弦理論》里，他寫到：“在知道無限小的符號代表鐵軌，積分是一種圖式之前，我僅靠肉眼觀察就可以在這些寬曲線邊上發(fā)現(xiàn)天地相接處的一塊區(qū)域。在東部丘陵地帶學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)讓人頓悟，它將記憶打碎，重現(xiàn)腦海。微積分確實(shí)很像兒時的游戲。”他在筆端重建個人化記憶的同時，將數(shù)學(xué)定理和知識雜糅其中，令它們參與敘述。它們不僅僅作為理性的知識載體，更承載了個人知覺、感受和潛意識，與文字共同建構(gòu)出一種雙軌的敘事模式。

這種雙軌模式也是他標(biāo)志性的風(fēng)格之一，它給予他的作品無限張力，以及難以破解的復(fù)雜性。他不僅在現(xiàn)實(shí)中采擷意象，也借助數(shù)學(xué)呈現(xiàn)現(xiàn)實(shí)背后的那些純粹、形式的關(guān)聯(lián)。它們構(gòu)造出一種超越語言的存在，一片理性與虛無交錯的無盡無序的荒原。

誰膽敢涉足那片荒原，就必然迷失其中。華萊士自己也不能幸免。

穿過一條街道的方法: 無窮大簡史
[美] 大衛(wèi)•福斯特·華萊士 /著
萬有引力 /廣東人民出版社
胡凱衡 /譯
2021年11月

二

9歲時，華萊士第一次表現(xiàn)出抑郁和焦慮的癥狀。這種被他母親稱為“牙齒上的黑洞”的問題此后對他一再糾纏。他曾借人物之口說：“遲鈍與心靈的痛處相連。”或許正因此，他沉溺于數(shù)學(xué)和哲學(xué)的世界，并認(rèn)定只有思考才能讓自己擺脫腦子里“特別的嗡嗡聲”。大學(xué)時，他讀了品欽的作品，在其中看到了自己的寫作之路。

25歲時，他完成了自己的第一部作品，即受維特根斯坦思想啟發(fā)的《系統(tǒng)的掃帚》，這是一部繁蕪叢雜的作品。但它的繁冗和艱澀遠(yuǎn)比不上華萊士的下一部作品，《無盡的玩笑》。據(jù)華萊士回憶，《無盡的玩笑》被編輯刪去了近三分之一，但它仍有接近50萬字的體量，以至于在新書發(fā)布會上，有人開玩笑地問，真有誰讀完過全書嗎。這部書入選了美國《時代》周刊評選的1923年以來世界一百部最佳英語長篇小說。有評論家盛贊華萊士是“這個時代最偉大的作家之一，具有寫出任何東西的才能”。

在《無盡的玩笑》之后，華萊士還出版了多部短篇小說集和散文集。而《穿過一條街道的方法》則是他沉重華麗的桂冠上的另一顆寶石，一本獨(dú)一無二的數(shù)學(xué)專著。考慮到華萊士小說閱讀的困難程度，或許這本數(shù)學(xué)專著反倒通俗一些。

“穿過一條街道”這個書名來自古希臘哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家芝諾的二分悖論：“你站在一個街角，你試圖穿過街道。請注意‘試圖’這個字眼，因?yàn)樵谀阌帽M辦法穿過整條街道之前，你顯然不得不經(jīng)過街道的一半，而你經(jīng)過一半之前，不得不經(jīng)過一半的一半。而在你經(jīng)過一半的一半之前，你顯然必須經(jīng)過一半的一半的一半……”這個悖論的實(shí)質(zhì)，是把過街這種我們每天都要完成很多回的活動，分解為無窮多個動作——既然是“無窮”，意思就是這些動作的次數(shù)沒有終點(diǎn)。于是，一個恐怖的結(jié)論出現(xiàn)了：人在邏輯上是過不了街的。

二分悖論的可惡之處，在于成功地把人引入了無窮的迷途。日常生活里，每每無窮這個詞出現(xiàn)，總伴隨著人們對它的稱頌、崇拜，它廣博、浩瀚，不受限制，趨近于完美，是人類所不可能企及的。然而，倒映在數(shù)學(xué)家眼中的無窮，卻完全與此背道而馳。就像亞里士多德所言：“無限的本質(zhì)就是缺失，不是完美無缺而是有限的缺失。”如何去尋找、證明缺失的存在？這看起來是一個不可能完成的任務(wù)。華萊士力圖在《穿過一條街道的方法》中揭示的，正是數(shù)學(xué)家們?nèi)绾我宰陨淼挠邢奕グl(fā)現(xiàn)（或者說創(chuàng)造，這在數(shù)學(xué)界一直有爭議）無窮的歷史。

要追蹤無窮在數(shù)學(xué)史上的蹤跡，我們必須跟隨華萊士回到古希臘。出人意料的是，熱愛數(shù)學(xué)的古希臘人不僅不欣賞、不崇拜無窮，還對它抱有厭惡、懷疑的態(tài)度。在古希臘人參與到數(shù)學(xué)研究之前，古巴比倫-埃及人就獲得了很高的數(shù)學(xué)成就，但他們對于數(shù)學(xué)的興趣完全源自于生活實(shí)踐，數(shù)學(xué)于他們是一種解決現(xiàn)實(shí)問題的工具。希臘人將數(shù)學(xué)抽象化了，他們相信，抽象的數(shù)學(xué)實(shí)在完全不同于人類所熟悉的那種經(jīng)驗(yàn)實(shí)在，而數(shù)學(xué)論證的是和人類可感知的現(xiàn)實(shí)與熟悉的經(jīng)驗(yàn)范疇完全無關(guān)的世界，雖然現(xiàn)實(shí)世界諸多現(xiàn)象背后也隱藏著純粹的、形式的數(shù)學(xué)關(guān)系。對此，我們可以這么理解：當(dāng)面對5個橘子加減的問題時，前人感興趣的是橘子，而古希臘人感興趣的則是5。他們不關(guān)心可觸可感的物，并將數(shù)字從具體的特性、感性經(jīng)驗(yàn)中剝離出來。至此，數(shù)學(xué)獲得了抽象這一本質(zhì)的特性。

三

然而，即便對于熱愛抽象思考的古希臘人，無窮也是極其麻煩的存在，恰如亞里士多德所指出的那樣，無窮是一種對于抽象的抽象，一個人需要在頭腦里抽象掉所有的有限，才能得到這個代表無窮的符號∞。可當(dāng)我們試圖定義“無窮”的概念時，又發(fā)現(xiàn)這是一個更大的問題。

當(dāng)然，無論是華萊士，還是作為本書普通讀者的我們，都不是最先意識到問題所在的人。華萊士在書中提到，亞里士多德早在《物理學(xué)》第六卷探討二分悖論（又來了！）的時候就注意到無窮概念的含混之處，他指出：“長度、時間以及任何連續(xù)的東西在兩種意義上可以被稱為‘無窮’的，即可分性和大小的意義上。”也就是說，無窮既可以意味著無窮大、無窮小、無窮長、無窮短，也可以表示有限之物的無窮可分性。

但不要以為折磨人的無窮至此放過了我們，因?yàn)閬喞锸慷嗟陆又职褵o窮分成了“實(shí)無窮”和“潛無窮”。所以，我們不得不再一次回到二分悖論——如果我們把街道不斷地二分，就會出現(xiàn)無數(shù)個分割點(diǎn)，這些點(diǎn)作為一個完整的實(shí)體存在，這些點(diǎn)的集合就是實(shí)無窮。如果我們把每天上午都會出現(xiàn)的“6:54”看成一個集合，我們就必須承認(rèn)，所有的“6:54”從來沒有并存過，這便是潛無窮……

繼續(xù)探討這類問題八成會讓正在閱讀本文的人十分煩躁，但相對于《穿過一條街道的方法》所展示給我們的那個關(guān)于“無窮”的浩瀚無際的宇宙，一切麻煩才剛剛開始。雖說古希臘人早已將抽象賦予數(shù)學(xué)，但直到17世紀(jì)，數(shù)學(xué)才從根本上成為一種來源于抽象而不是來源于現(xiàn)實(shí)世界的形式系統(tǒng)。借助這個系統(tǒng)的機(jī)制，數(shù)學(xué)家得以并且敢于真正去觸碰∞。

面對人類這種僭越行為，∞必然要加以回?fù)簟＿@個擁有令人連連眨眼的特異外形的怪胎，展示出更多怪誕的難以理喻的面目，想要引人誤入歧途。它的反擊包括以下這個事實(shí)：一個無窮集合的子集含有和這個集合一樣多的元素。任何一個神志清醒的人在面對這個事實(shí)時恐怕都會感到理性崩塌。∞施加在人類身上的酷刑還沒有結(jié)束，因?yàn)榕ｎD和萊布尼茨又先后發(fā)現(xiàn)了微積分。無窮小量的存在對于微積分來說是不可或缺條件，它的善變令人忍無可忍，計算需要0時它就是0，不需要0時它就大于0。有誰見過比它更沒有底線的變色龍、墻頭草嗎？為了挽救微積分，牛頓為它進(jìn)行了“有力”的辯解：它不是無窮小量，而是流數(shù)，是一個基于時間變量的變化率。但這只是引發(fā)了更多的疑惑，以及更多的辯解……

有鑒于此，閱讀《穿過一條街道的方法》對于我這樣從未被允許踏入過“高數(shù)”圣殿的人來說，是痛苦交織著片刻頓悟的神奇體驗(yàn)，也是一場真正的精神冒險。我在華萊士這位知識淵博、頭腦敏銳的向?qū)У闹敢拢巴耆粗念I(lǐng)域，一路上艱險不斷，我不知道自己能夠走多遠(yuǎn)——也確實(shí)沒走太遠(yuǎn)。當(dāng)來到華萊士最推崇、最贊賞的康托爾面前時，我的腦子已經(jīng)亂成一團(tuán)，完全理不出任何頭緒。但我仍慶幸自己鼓起勇氣開始了這次旅程，并因此得以窺探古往今來，唯有數(shù)學(xué)家才被允許凝望的禁忌之景。

我甚至有所領(lǐng)悟——鋪設(shè)在書中的那條大道不只是二分悖論分割點(diǎn)的集合，也是一條由數(shù)學(xué)家卓絕的智力所開拓的無形之路。它宛如一條有始而無終的數(shù)軸，在書中短暫現(xiàn)身的一位位數(shù)學(xué)家則是小小的坐標(biāo)點(diǎn)，他們不能窮盡數(shù)軸，也不能抵達(dá)數(shù)軸的盡頭，但他們延展了人類認(rèn)知的長度，從現(xiàn)實(shí)的背面挖掘出一個宏偉的潛在世界。

四

《穿過一條街道的方法》講解的是潛在的數(shù)學(xué)世界的故事，是一個純粹理性世界的概況。但是，從這本無意與個體生命和私人經(jīng)驗(yàn)發(fā)生牽連的著作里，我們?nèi)阅苁暗揭恍┤A萊士生命的碎片。

在全書開篇，華萊士隆重推出康托爾和他的超窮理論，同時免不了提起了數(shù)學(xué)家們宿命一般的悲劇結(jié)局——康托爾性格復(fù)雜多變，精神病院是他的終生歸宿；哥德爾，死于精神病；波爾茲曼，死于自殺……華萊士引用切斯特頓的話總結(jié)道：“詩人不會發(fā)瘋，但國際象棋選手會；數(shù)學(xué)家、出納員會發(fā)瘋，但有創(chuàng)造力的藝術(shù)家很少會。我不是在攻擊邏輯——我只是說這種危險不是在想象中，而確實(shí)存在于邏輯中。”不過，華萊士馬上糾正，危險的不是邏輯，而是令人崩潰的“抽象”，也就是把一切歸結(jié)到最基本層面的行為，它意味著努力思考對大多數(shù)人無法努力思考的事物。而這是令人無法承受的。

或許大多數(shù)人安于“有限”和渾渾噩噩的生活，是出于生理上的自我保護(hù)機(jī)制。華萊士知道數(shù)學(xué)的危險、思考的危險，并且輕松自如地指出它們，仿佛一切盡在掌握。但這樣的明智并沒有阻止他自己的人生以慘劇落幕，反而成就了預(yù)言和讖語。眾所周知，華萊士于2008年在家中自縊身亡，年僅46歲。當(dāng)時的他并不像他所欣賞的悲劇英雄康托爾那樣孤立無援，走投無路——華萊士聲譽(yù)正隆，還有密切關(guān)注他精神狀況的新婚妻子。（關(guān)于婚姻，華萊士在本書中一條注釋里寫道： “奇怪的事實(shí)：歷史上幾乎所有偉大的哲學(xué)家都未婚。海德格爾是僅有的例外。偉大的數(shù)學(xué)家大約是一半對一半，結(jié)婚率依然低于一般人的水平。對這一點(diǎn)沒有令人信服的解釋，大家可以自由發(fā)揮。”我相信他在這一問題上所做的思考，遠(yuǎn)不像這條輕飄飄的注釋所展現(xiàn)的那般輕松。）而他的人生也沒能遵循切斯特頓的論調(diào)，因?yàn)榛烊肓宋膶W(xué)這種普遍認(rèn)為門檻低、邏輯弱的成分而扭轉(zhuǎn)走向。

華萊士的悲劇告誡我們，數(shù)學(xué)帶來的最大危險不是掛科補(bǔ)考，而是讓人迷失在對抽象的執(zhí)著中永無出路。不過，《穿過一條街道的方法》同樣也讓我放心了，原來我對數(shù)學(xué)這一領(lǐng)域最深入的理解也只停留在古代，和令人誤入歧途的現(xiàn)代數(shù)學(xué)隔著阿喀琉斯與烏龜之間的難以跨越的天塹——雖然華萊士在書里運(yùn)用明示、暗示，大張旗鼓、草蛇灰線地反復(fù)預(yù)告和鋪陳劃時代的數(shù)學(xué)天才康托爾的超窮理論，但等一頭霧水的我終于來到那一章時，卻遺憾地發(fā)現(xiàn)只有和超窮同為超字輩的超人，才能理解這些文字和符號的真正含義。

至少我安全了。這次冒險之旅讓我再一次確認(rèn)，并不是所有人都有幸能被數(shù)學(xué)帶來的厄運(yùn)所揀選。不幸而幸運(yùn)的大多數(shù)人，終生都不會進(jìn)入數(shù)學(xué)中那個完全獨(dú)立于現(xiàn)實(shí)存在的秘境，也不會受到無限的傷害。

合上書，我可以繼續(xù)過夏蟲不可言冰的快樂生活，把可怕的無窮丟在腦后，為自己擁有完美的有限而竊喜不已。